Curiosidade matemática: 0,999999... é igual a 1!

Você sabia que 0,9999... é uma outra forma de escrever o número 1?

Não acredita?

1 / 9 = 0,1111...

Multiplicando os dois lados da equação por 9:

9 * (1 / 9) = 9 * 0,1111...
9 * (1 / 9) = 0,9999...
9 * (1 / 9) = 0,9999...
1 = 0,9999...

Surpreso? Eu também fiquei!

Fonte:

https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Calculadora de taxas

Calculadora de taxas

Taxa mensal para anual: 1% * 12 (multiplique por 12) Taxa anual para mensal: 6% / 12 (divida por 12) Descontar inflação: 12% - 4% (subtraia a inflação da taxa de rentabilidade)

Quando estamos falando de taxas, na maioria das vezes não podemos realizar as operações de soma, subtração, divisão ou multiplicação da forma tradicional. 

Por exemplo, uma taxa anual de 12% não é equivalente a uma taxa mensal de 1%.

R$ 100,00 * (1 + x%) ^ 12 = R$ 100,00 * (1 + 12%)
(1 + x%) ^ 12 = (1 + 12%)
(1 + x%) = (1 + 12%) ^ 1/12
x% = (1 + 12%) ^ 1/12 - 1
x% = 0,9489%

12% ao ano = 0,9489% ao mês

Uma taxa mensal de 1% não é equivalente a uma taxa anual de 12%.

R$ 100,00 * (1 + x%) = R$ 100,00 * (1 + 1%) ^ 12
(1 + x%) = (1 + 1%) ^12
x% = (1 + 1%) ^ 12 - 1

x% = 12,6825%

1% ao mês = 12,6825% ao ano

O rendimento real de uma aplicação que ofereça uma rentabilidade de 12% ao ano, dado que a inflação anual foi de 8%, não é 4%.

R$ 100,00 * (1 + 8%) * (1 + x%) = R$ 100,00 * (1 + 12%)
(1 + 8%) * (1 + x%) = (1 + 12%) 
(1 + x%) = (1 + 12%) / (1 + 8%)
x% = (1 + 12%) / (1 + 8%) - 1
x% = 3,7037%

12% ao ano, descontada uma inflação de 8% ao ano = 3,7037%

A calculadora acima redefine os operadores aritméticos, fornecendo os resultados corretos para as operações envolvendo taxas.

Fonte da foto: https://www.flickr.com/

Como investir no exterior

Sempre tive vontade de investir parte do meu patrimônio no exterior, como estratégia de diversificação. Mas imaginava que só faria isso no futuro, por ser algo muito complexo.

Mas ao ler as dicas do Viver de Dividendos, resolvi experimentar, com um valor pequeno.

O primeiro passo foi abrir uma conta na corretora Drive Wealth. O procedimento é todo online e bem simples.

Em seguida, fiz uma remessa para a corretora, através do Remessa Online. O pagamento é feito através de um boleto, gerado pelo site. Outra vez, fiquei surpreso com a facilidade. 

Em dois dias, o dinheiro estava na conta da corretora. Resolvi aplicar inicialmente em um fundo ETF: Vanguard Total Stock Market ETF. Esse ETF tenta reproduzir o comportamento do mercado de ações norte-americano como um todo.

Algo que eu imaginava ser extremamente complicado se mostrou muito mais  simples do que eu imaginava. Agora pretendo, aos poucos, estudar mais e traçar uma estratégia para diversificação de no mínimo 10% dos meus investimentos no exterior.

E você, já pensou em investir no exterior?

Fonte da foto: flickr

Como calcular o retorno dos seus investimentos

Maria possui uma carteira diversificada de investimento (renda fixa, ações e outros). Qual é a maneira correta de calcular o desempenho dessa carteira de investimentos?

Os investimentos de Maria se deram da forma abaixo:

Data	Aporte	Valor da carteira
01/janeiro	R$ 5.000,00	R$ 5.000,00
31/janeiro		R$ 5.250,00
Rendimentos janeiro	R$ 250,00
Rentabilidade	R$ 250,00 / R$ 5.000,00 = 5%
01/fevereiro	R$ 1.000,00	R$ 6.250,00
28/fevereiro		R$ 6.875,00
Rendimentos fevereiro	R$ 625,00
Rentabilidade	R$ 625,00 / R$ 6.250,00 = 10%
01/março	R$ 4.000,00	R$ 10.875,00
31/março		R$ 9,787,50
Rendimentos março	-R$ 1.087,50
Rentabilidade	-R$ 1.087,50 / R$ 10.875,00 = -10%

Variação do patrimônio

Aporte total: R$ 10.000 
Valor final da carteira: R$ 9,787,50 
Rendimentos: R$ 9,787,50 - R$ 10.000 = R$ -215,50
Variação do patrimônio: R$ -215,50 / R$ 10.000 = -0,02%

A variação do patrimônio [(Valor final da carteira - Aportes) / Aportes] é uma forma bastante simples de acompanhamento. Se a variação do patrimônio for negativa, como no caso da Maria, a estratégia de investimento precisa ser revista, pois está ocorrendo perda de dinheiro. Se a variação for positiva, no entanto, precisamos de um método mais  sofisticado, pois esse método não leva em conta a inflação do período e não permite a comparação com outras formas de investimento (renda fixa, por exemplo).

Sistema de cotas

O método do sistema de cotas basicamente calcula a rentabilidade média da carteira, a partir da rentabilidade individual de cada período. No caso da Maria, o cálculo ficaria assim:

Rentabilidade de janeiro: 5%
Rentabilidade de fevereiro: 10%
Rentabilidade de março: -10%

Rentabilidade nos três meses: 
(1 + 0,05) x (1 + 0,10) x (1 - 0,10) - 1 =
= 1,05 x 1,10 x 0,90 - 1 =
= 1,0395 - 1 =
= 3,95%

Rentabilidade mensal:
(1 + 3,95%) ^ 1/3 - 1 =
= 1,30%

Para cálculos envolvendo taxas, veja a Calculadora de taxas.

Mas Maria teve prejuízo. Essa rentabilidade está correta? Está sim. O sistema de cotas não mede o desempenho do investimento, ele mede o desempenho da carteira. A carteira da Maria, apresentou, em média, uma rentabilidade de 1,30% ao mês. Mas Maria fez um investimento relativamento alto (R$ 4.000,00), em um período onde a carteira deu prejuízo, por isso o resultado final foi negativo. 

O sistema de cotas mede a rentabilidade média da carteira, desconsiderando a periodicidade e o tamanho dos aportes. Por isso, esse sistema é muito usado para medir o desempenho de gestores de fundos. Os gestores não tem controle sobre os aportes dos clientes e não seria justo penalizá-los se os clientes realizassem aportes somente nos períodos de menor rentabilidade.

Em inglês esse método é conhecido como Time weighted rate of return.

Taxa interna de retorno

Para nosso exemplo, podemos entender a Taxa interna de retorno (TIR) como a taxa mensal fixa de um investimento que daria a Maria o mesmo resultado que ela obteve com a sua carteira. 

É difícil calcular a TIR manualmente, então a melhor forma é usar a fórmula para TIR no Excel. Em português a fórmula é TIR e em inglês é IRR. No caso da Maria, teríamos que passar os seguintes valores para a fórmula: -R$ 5.000, -R$ 1.000, -R$ 4.000, R$ 9,787,50. Ou seja, os aportes como valores negativos e o valor final da carteira (e eventuais resgates) como valor positivo.

A taxa interna de retorno de Maria encontrada para Maria foi -1,02%. Ou seja, Maria obteria os mesmos resultados se aplicasse o seu dinheiro em um investimento que desse um prejuízo mensal de -1,02%.

A taxa interna de retorno leva em conta a rentabilidade da carteira e o fluxo de aportes e resgates. No caso de um fundo de investimento, a taxa interna de retorno indicaria ao cliente se o seu fluxo pessoal de aportes trouxe ou não um resultado adequado.

No contexto de retorno de carteiras, esse método é conhecido em inglês como Money weighted rate of return.

Conclusão

No caso de Maria, podemos tirar duas conclusões. 

O sistema de cotas mostra que a rentabilidade da sua carteira de investimentos é 1,30% ao mês. Ou seja, se ela tivesse feito todos os seus aportes no primeiro mês, teria obtido um rendimento final de 3,95% e a sua variação de patrimônio teria sido positiva.  Enquanto gestora do seu próprio fundo de investimento, Maria está atuando bem.

A taxa interna de retorno mostra que o resultado final do seu fluxo de aportes não foi positivo. Ela teria obtido o mesmo resultado se tivesse aplicado o seu dinheiro em um investimento com prejuízo de -1,02% ao mês. Enquanto cliente do seu próprio fundo de investimento, Maria não fez os aportes nos momentos mais adequados.

Fontes:

http://empresasemercados.blogspot.com.br/2014/07/calculo-de-retorno-de-carteiras.html

http://alemdapoupanca.blogspot.com.br/2012/04/calculando-de-forma-correta-seus.html

https://www.blueleaf.com/performance-reporting-choices-simplified/

The Math of the Fixed Rate Equivalent (FREQ)

Diversificação de investimentos

Você tem 10 moedas de ouro e pretende comprar galinhas para a produção de ovos. Existem duas espécies de galinhas. Uma espécie produz 1 ovo por dia. A outra produz 3 ovos por dia. Cada galinha custa uma moeda de ouro, não importa a espécie. Quantas galinhas de cada espécie você deve comprar?

A sua estratégia de compra depende do seu conhecimento, ou seja, do seu grau de incerteza.Se você sabe qual espécie de galinha produz 3 ovos por dia, obviamente não compensa comprar galinhas da espécie que produz menos. Você pode utilizar as suas 10 moedas de outro e comprar 10 galinhas da mesma espécie. Assim, você teria 30 ovos por dia. A diversificação só faz sentido se houver incerteza.

Agora imagine que você não sabe qual espécie de galinha produz mais ovos. Qual seria a melhor estratégia? Vamos analisar algumas opções:

1) Você compra 10 galinhas da mesma espécie. Se você estiver com sorte, você escolheu a melhor espécie e o seu lucro será de 30 ovos por dia. Se você deu azar e comprou a pior espécie, ficará com 10 ovos por dia. Ou seja, o seu resultado final pode ser de 10 a 30 ovos por dia. Sem diversificação e numa situação de incerteza, seu risco é o maior possível.

2) Você compra 1 galinha de uma espécie e 9 da outra. Se você estiver com sorte, você comprou 9 galinhas da melhor espécie e o seu lucro será de 28 (9 x 3 + 1) ovos por dia. Se você deu azar e comprou mais da pior espécie, ficará com 12 (9 x 1 + 3) ovos por dia. Ou seja, o seu resultado final pode ser de 12 a 28 ovos por dia. A diversificação reduz o limite inferior e o limite superior de lucro.

3) Você compra 5 galinhas de cada espécie. Nesse caso, você terá 5 galinhas que botam 1 ovo por dia e 5 galinhas que botam 3 ovos por dia. Ou seja, é certo que você terá uma produção de 20 ovos por dia. Quanto maior a diversificação, menor o risco.

Colocando todas as opções em um gráfico:

Resumindo:

• A diversificação reduz a incerteza (risco). Quanto mais diversificado o investimento, menor a distância entre o pior e o menor caso.
• A diversificação aumenta o lucro mínimo (ou reduz o prejuízo máximo).
• A diversificação reduz o lucro máximo (quanto menor o risco, menor o lucro). 

Qual seria a sua estratégia?

 

Probabilidade - O problema das três portas

Em 1990, Marylin vos Savant respondeu, em sua coluna da revista Parade, à seguinte pergunta:

Suponha que você está em show de TV e deve escolher entre três portas. Atrás de uma das portas há um carro. Atrás das outras, cabras. Você escolhe a porta número 1 e o apresentador, que sabe onde o carro está, abre outra porta, digamos a porta 3. Ele te diz: "Você quer escolher a porta 2?". É vantajoso trocar de porta?

Marylin, citada no livro Guinness por seu alto QI, respondeu que sim. Quem troca de porta tem 2/3 de chances de acerto. A chance de quem permanece com a porta inicial é de 1/3.

Sua resposta provocou respostas iradas de inúmeros matemáticos e um grande debate se iniciou. Após muita polêmica, a resposta de Marylin foi finalmente aceita como correta.

A chance do competidor acertar a porta na primeira escolha é de 1/3. Assim, é mais provável que o carro esteja em uma das outras duas portas. Por isso, é melhor trocar de porta.

Clique nas portas para experimentar.

Porta 1 Porta 2 Porta 3

25% 75%

Agora imagine um outro problema. Você está participando de uma "raspadinha". Existem 1.000 bilhetes. Apenas 1 está premiado. Você comprou 1 bilhete e o seu amigo comprou 999. Seu amigo raspou 998 bilhetes e nenhum estava premiado. Restam então dois bilhetes: um com você e outro com o seu amigo. Ele te propõe trocar os bilhetes. Você aceitaria?

Fontes:

Game Show Problem
The Monty Hall Problem Explained

Saindo da bolha

Para crescer, conheça ideias opostas às suas

Você convive sempre com as mesmas pessoas? Você escuta ideias contrárias às suas? Quando você não concorda com algum comentário, o que faz? Bloqueia? Rebate prontamente?

Cuidado, você pode estar vivendo em uma bolha cognitiva.

Uma bolha onde todos pensam da mesma forma, onde suas ideias não são questionadas. Onde você se sente seguro. Mas essa segurança tem um preço, a estagnação. A bolha limita. Dentro da bolha você só escuta os seus próprios pensamentos. Como todos pensam de forma parecida, a opinião dos seus companheiros é simplesmente um eco dos seus próprios pensamentos.

Para crescer, é necessário sair da bolha. Viver experiências diferentes. Escutar aqueles que pensam de forma radicalmente diferente de você. Quando tentamos compreender pensamentos diferentes dos nossos, duas coisas podem acontecer. Nossas ideias anteriores saem enfraquecidas (isso é ótimo, porque assim conceitos novos e mais adequados podem surgir) ou fortalecidas (isso também é ótimo, porque agora nossa convicção ainda é maior, pois sobreviveu ao confronto).

O co-fundador da Avaaz.org, Eli Pariser, alerta em seu livro The Filter Bubble, que os algoritmos de personalização do Facebook e do Google escondem o que é desconfortável e desafiador, criando uma rede de uma pessoa só.

Eli, que se considera um progressista, sempre gostou de ter comentários de conservadores no seu "feed" de notícias. Mas um dia ele percebeu que o Facebook estava escondendo esses comentários. A algoritmo da rede social estava colocando Eli em uma filtro-bolha, que deixava passar apenas notícias e comentários alinhados com os interesses principais do autor.

O mesmo acontece com o Google. Os resultados de busca são diferentes para cada pessoa. A ferramenta de busca e a rede social decidem o que é mais relevante para cada pessoa, criando um isolamento virtual que muitas vezes não é percebido.

E você, está uma bolha cognitiva?


Fontes:

UMA HOMENAGEM AO SITE MISES BRASIL - SOBRE A NECESSIDADE DE QUESTIONARMOS NOSSAS IDEIAS

Eli Pariser: Tenha cuidado com os "filtros-bolha" online